Zou het waar zijn?

10 april 2021

in Verhalen

Na een spel aan de bridgetafel merkte een speler op: “Zo, dit spel wordt  nooit weer gespeeld.” Op een toernooi of op een wedstrijdavond worden door verschillende paren wel dezelfde spellen – dus met dezelfde verdeling van de speelkaarten onder de vier spelers – gespeeld, maar nagenoeg altijd met een verschillend spelverloop door een combinatie van een ander eindbod, een andere uitkomst en verder onderling afwijkend verloop. Echter dat eenzelfde spel in de vermelde setting twee maal wordt gespeeld is ook niet helemaal uitgesloten. Dus “nooit”? Laat ik het anders zeggen sprak de speler: “Dit spel wordt na vandaag nooit weer gespeeld.”

Toen ik dat hoorde dacht ik – gegeven de 52 speelkaarten: “het zal wel”, maar dat wil ik dan weten ook. Als de tijd daar is gaan we het uitzoeken. Uitzoeken of elke verdeling van 52 speelkaarten  in vier windrichtingen – goed geschud natuurlijk – uniek is. (Zoals ieder mens uniek is.)

Daar komt een behoorlijke rekenpartij aan te pas. Maar mijn nieuwsgierigheid is te groot om de klus niet op te pakken. Hele grote, ja onuitspreekbare getallen komen te voorschijn. Daarvoor gebruiken we een notatie van een cijfer, dus 1 t/m 9, gevolgd door M en een getal dat de tiende macht weergeeft.

Zo wordt 1000 geschreven als 1M3; 13.000.000 als 1,3M7.

De letters A,B en C kunnen in 3 x 2 x 1 = 6 onderscheiden volgordes worden geschreven. De notatie hiervoor is 3! (3 faculteit)

Zo is 52! de notatie van het aantal verschillende volgordes van 52 speelkaarten.

De uitkomst is, houd u vast:

80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000.

Zo geschreven onuitspreekbaar. We noteren het daarom – afgerond – als 8,0M67 (80 undeciljoen).

Iedere speler krijgt 13 kaarten. De volgende vraag is dan: hoeveel combinaties staan iedere speler ter beschikking. De eerste speler heeft de keuze uit 52 kaarten, de volgende uit 39, de derde uit 26 en daarmee is die van de vierde speler vastgelegd. In de praktijk worden de kaarten op een andere wijze verdeeld, echter met hetzelfde resultaat: iedere speler krijgt 13 kaarten ‘blind’ gegeven.

Nu is er een wiskundige formule om te berekenen hoeveel combinaties “k” er getrokken kunnen worden uit een verzameling “n”: n! / (n-k)! x k!. Voor de eerste speler gaat het dan om 13 kaarten uit 52 kaarten: 52! / (52-13)! x 13! = 6,35M11.

Voor de tweede: 39! / (39-13)! x 13! = 8,12M9.

Voor de derde: 26! / (26-13)! x 13! = 1,04M7.

En zoals gezegd geldt voor de vierde speler 1,0M0. (= 1)

Om nu te komen tot het totaal aantal mogelijke te spelen spellen met bridge dienen we de vier combinaties met elkaar te vermenigvuldigen. Dit levert enigszins afgerond 5,36M28 op.

Voluit geschreven als: 5360000000000000000000000000000. (53,6 quadriljard)

Hoe groot is nu de kans op twee gelijke spellen?

Deze is te berekenen volgens k/n is 1 op 53,6 quadriljard.

Stel dat er wereldwijd 4 miljoen actieve bridgers zijn. Als die allemaal tegelijk spelen worden er 1 miljoen spellen gespeeld, omdat ieder spel 4 deelnemers kent verdeeld in 2 paren. Stel vervolgens dat ze een bridgezaam leven hebben van 25 jaren en ieder per week 40 spellen speelt. Dat geeft in een generatie 1.000.000 x 25 x 40 x 52 = ca. 50 miljard spellen ofwel 5M10.

Dat betekent dat het 5,36M28/5M10 = ca. 1M18 generaties – dat wil zeggen ongeveer 2M16 jaren – duurt eer er statistisch beschouwd een gerede kans is dat een gespeeld spel betreffende de verdeling van de speelkaarten twee maal op tafel is gekomen uitgaande van de genoemde aantallen.

Het antwoord op de titelvraag is een overduidelijk “ja”.   En als dan ooit in de tijden toch, hoewel de kans erop 0 is, met een eerder voorgekomen verdeling wordt gespeeld zal de uitvoering zeer waarschijnlijk niet dezelfde zijn.

Interessant voor de echte liefhebber lijkt me ook: hoe groot is de kans op een gewenste samenstelling van je speelkaarten?

Bij kansberekening wordt zoals vermeld de beoogde mogelijkheid (k) gedeeld door het totaal aantal mogelijkheden (n). In formulevorm: k/n en als er sprake is van combinaties schrijven we n! / (n-k)! x k! ofwel ndk waarbij “d” staat voor “daaruit”.

Simpel voorbeeld: hoe groot is de kans met één trekking van twee letters uit de letters A, B, C, D en E  op de letters B en D? Oplossing: 5d2 = {5! / (5-2)! x 2!} = {120 / 6 x 2} = 10.  Aldus een kans van 1 op 10.(10%)

En hoe groot is de kans met twee trekkingen van 1 letter op B en D?

5d1 x 4d1 = {5! / (5-1)! x 1!} x {4! / (4-1)! x 1!} =  {120 / 24} x {24 / 6} =   {5 x 4} = 20. Kans 1 op 20.(5%)

Hoe groot is de kans op een (schoppen)fit van 4 bij 4.

Dat is de volgende som: {(13d4)x(39d9) / (52d13)} x {(9d4)x(30d9) / (39d13)} met als uitkomst 1 op 18,9.(5,3%)

En bij een fit van 3 bij 5?

{(13d3)x(39d10) / (52d13)} x {(10d5)x(29d8) / (39d13)}, 1 op 26,5.(3,8%)

Hoe groot is de kans op 8 van dezelfde kleur in de hand?

{(13d8)x(39d5)} / (52d13) met als uitkomst 1 op 855.(0,1%)

Hoe groot is de kans op 0 punten?

{(36d13)x(16d0)} / (52d13) met als uitkomst 1 op 278.(0,36%)

4 gelijke(bv Azen) kaarten: {(13d1)²x(13d1)²x(48d9)}/(52d3), 1 op 78.(1,3%)

Hoe groot is de kans op 21 punten met 3 Azen en 3 Heren?

(4d3)x(1d0)x(4d3)x(1d0)x(4d0)x(4d0)x(34d7) / (52d13) met als uitkomst 1 op 7.375.(0,01%)

Hoe groot is de kans op 21 punten met 1 Aas, 2 Heren, 3 Vrouwen en 3 Boeren?

(4d1)x(3d0)x(4d2)x(2d0)x(4d3)x(1d0)x(4d3)x(1d0)x(29d4) / (52d13) met als uitkomst 1 op 69.600.(0,001%)

Hoe groot is de kans op 21 punten? Alle mogelijke kansen op een combinatie van 21 punten bij elkaar optellen. Ben benieuwd wie hiermee aan de slag gaat:).

Dan nog even over klaverjassen.

Hier bedraagt het aantal volgordes: 32! = 2,63M35. (dus 263 met 33 nullen)

En het aantal combinaties of spellen: (32d8)x(24d8)x(16d8) = 1,0M17.

De kans op twee gelijke spellen is k/n is 1 op 0,1 triljoen.

Worden er net zoals gesteld bij bridge in een mensenleven 5M10 spellen gespeeld dan gaan er statistisch gezien ongeveer 1M17/5M10 = 2M6 generaties, ongeveer 4M4 jaren, overheen voor een spel wordt gedoubleerd. Aldus ook een overduidelijk “ja”.

Vraagje: op hoeveel jaren is een mensenleven in het voorgaande gesteld?

Denk- en/of rekenfouten voorbehouden.

Maurits Flapper